Analiza rozwiązalności układu równań za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego

Poniższy kalkulator pomoże w przeprowadzeniu analizy rozwiązywalności układu równań z dowolną ilością niewiadomych na podstawie obliczeń rzędu macierzy układu oraz rzędu macierzy rozszerzonej zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego. W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.
matematyka, ukaład równań liniowych, metoda eliminacji, metoda gaussa-jordana, metoda macierzy odwrotnej, macierz odwrotna Aby uzyskać wynik wprowadź współczynniki w puste komórki lub klikając w zmień na pole tekstowe i wprowadź współczynniki rozdzielając je spacją. W pole tekstowe możesz wprowadzić również pełne równania z niewiadomymi (kliknij w przykład poniżej).

Kolejne równanie oraz współczynniki możesz dodać lub odjąć używając przycisków lub ustawić kursor na komórce w ostatnim wierszu lub kolumnie i nacisnąć na klawiaturze strzałkę w odpowiednim kierunku.

Po komórkach możesz poruszać się za pomocą tabulatora, spacji lub strzałek na klawiaturze.

W każde pole kalkulatora możesz wprowadzać liczby dziesiętne, ułamki proste, podstawowe działanie matematyczne np: 1,5; 1/2; 5+2; 5-2; 5*2; 1/2+5; 5*(8+2); (5-2)/2; 1.5e-3; 1.5(3); (2/5)*(1/2); 5+2*(5/3-2); itp.

Dane do kalkulatora możesz wprowadzić również z uzyskanego wyniku, wystarczy złapać dowolną macierz z wyników i upuścić ją na komórki lub pole tekstowe.

Wyniki przechowywane są w plikach cookies oznacza to, że wynik będzie zachowany do momentu klinięcia .
Dzięki przechowywanym wynikom możesz porównać działania korzystając z innych kalkulatorów układu równań liniowych dostępnych na naszej stronie np. Układ równań metodą Gaussa-Jordana, Układ równań metodą Cramera, Układ równań metodą macierzy odwrotnej

Przykład 1:

2x-2y+z=-3
x+3y-2z=1
3x-y-z=2

Przykład 2:

2x-0y+z=2
x-3y-0z=1
x+y-2z=0

Przykład 3:

2x-2y+z-w=7
-x+4y-5z+3w=1
x+y-z+w=4
-4x+2y+z-2w=6

Układ równań analiza metodą Kroneckera-Capelliego

ułamki dziesiętne , ilość miejsc po przecinku =

Wynik

Policzyłeś? - kliknij polub i udostępnij

Przydatne Informacje

Układem równań liniowych nazywamy układ postaci:
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = b_{1}},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = b_{2}},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = b_{m}} \end{array} \right.}$$
gdzie:

$\mathrm{\large{a_{11},...,a_{mn}}}$ - są to współczynniki równania (dane)
$\mathrm{\large{b_{1},...,b_{m}}}$- wyrazy wolne (dane)
$\mathrm{\large{x_{1},...,x_{n}}}$- niewiadome równania

Rozróżniamu dwa rodzaje układów równań liniowych:

• układy równań liniowych jednorodne,

• układy równań liniowych niejednorodne,
Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zero.
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = 0},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = 0},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = 0} \end{array} \right.}$$

Metody rozwiązywania równań liniowych dzieli się na dwie klasy:

• metody skończone - pozwalają uzyskać rozwiązanie po wykonaniu skończonej liczby działań arytmetycznych a otrzymane rozwiązania obarczone są tylko błędami zaokrągleń.

• metody iteracyjne - polegają na wyznaczaniu ciągu wektorów zbieżnego do rozwiązania układu. Uzyskane rozwiązania są obarczone błędem metody oraz zaokrągleń. Metody te pozwalają jednak wyznaczyć rozwiązania z dowolną, z góry zadaną dokładnością.

Macierzą układu równań nazywamy macierz A wymiaru mxn jego współczynników przy zmiennych:
$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C wymiaru mx(n+1), oznaczaną także jako A|B, powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych B:
$$A|B = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right] $$

Twierdzenie Kroneckera - Capelliego

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania, jeśli rząd r macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej:
$$ rzA = rzC = r$$.

rz A = rz C = n

jest to układ oznaczony

rz A = rz C < n

(n - r)

jest to układ nieoznaczony

rz A < rz C

jest to układ sprzeczny

.

Aby rozwiązać układ m równań liniowych z n niewiadomymi stosujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego. W tym celu wyznaczamy rząd macierzy układu i macierzy rozszerzonej, poprzez sprowadzenie tych macierzy do postaci schodkowej.

Układ równań liniowych - Wikipedia (PL)
Macierz - Wikipedia (PL)

Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Kwadrat

Dzięki kalkulatorowi obliczysz w prosty sposób pole powirzchni, bok, przekątną, promień okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie za pomocą różnych wzorów.

Macierz 2x2

Dzięki kalkulatorowi matematycznemu obliczysz w prosty sposób wyznacznik macierzy, wyznaczysz macierz dopelnień, macierz transponowaną, macierz odwrotną.

Barwny kod paskowy rezystorów - 5 pasków

Dzięki kalkulatorowi sprawdzisz lub obliczysz wielkość oporu, współczynnik temperaturowy rezystancji oraz tolerancję rezystorów z barwnym oznaczeniem paskowym.

Kalkulator spadku napięcia z mocy dla obwodów jednofazowych i trójfazowych

Dzięki kalkulatorowi obliczysz spadki napięć dla obwodów jednofazowych i trójfazowych prądu przemiennego wyliczonych z mocy czynnej. Obliczysz również długość przewodu, średnicę przewodu, pole przekroju przewodu, napięcie fazowe lub międzyprzewodowe lub moc czynną.

Wskaźnik Talia-Biodra WHR (waist-hip ratio).

Kalkulator współczynnika WHR oblicza stosunek obwodu talii do obwodu bioder.
Dzięki kalkulatorowi Talia-Biodra dowiemy się jaki mamy typ otyłości, jakie istnieje ryzyko zachorowania na nadciśnienie tętnicze, choroby wieńcowe, udar mózgu, miażdżycę i cukrzycę oraz poznamy średni standardowy wskaźnik WHR dla naszej płci i wieku.

Macierz 3x3

Dzięki kalkulatorowi matematycznemu obliczysz w prosty sposób wyznacznik macierzy, wyznaczysz macierz dopełnień, macierz transponowaną, macierz odwrotną.

Silnia Stirlinga

Kalkulator oblicza silnię za pomocą wzoru Stirlinga.

Z kalkulatora korzystano 20886 razy.

Komentarze

Zadaj pytanie, zaproponuj zmiany, znalazłeś/aś błąd napisz, wyraź swoją opinię!

Jeżeli skorzystałeś/aś z kalkulatora i zainteresował Cię lub pomógł - powiadom znajomych, dodaj link do kalkulatora na swojej stronie, blogu, forum, serwisach społecznościowych, dodaj do ulubionych i kliknij, a pomożesz innym.

Komentarze (0)

Nikt nie komentował jeszcze. Nie wstydź się, bądź pierwszy/a ;)

Dodaj komentarz

* Wymagane informacje

1000

Poinformuj mnie o nowych komentarzach przez email.

Zapamiętaj na tym komputerze wprowadzone do formularza dane.

Przeczytałem/am i zrozumiałem/am politykę prywatności.