Analiza rozwiązalności układu równań za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego

Poniższy kalkulator pomoże w przeprowadzeniu analizy rozwiązywalności układu równań z dowolną ilością niewiadomych na podstawie obliczeń rzędu macierzy układu oraz rzędu macierzy rozszerzonej zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego. W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.
matematyka, ukaład równań liniowych, metoda eliminacji, metoda gaussa-jordana, metoda macierzy odwrotnej, macierz odwrotna Aby uzyskać wynik wprowadź współczynniki w puste komórki lub klikając w zmień na pole tekstowe i wprowadź współczynniki rozdzielając je spacją. W pole tekstowe możesz wprowadzić również pełne równania z niewiadomymi (kliknij w przykład poniżej).

Kolejne równanie oraz współczynniki możesz dodać lub odjąć używając przycisków lub ustawić kursor na komórce w ostatnim wierszu lub kolumnie i nacisnąć na klawiaturze strzałkę w odpowiednim kierunku.

Po komórkach możesz poruszać się za pomocą tabulatora, spacji lub strzałek na klawiaturze.

W każde pole kalkulatora możesz wprowadzać liczby dziesiętne, ułamki proste, podstawowe działanie matematyczne np: 1,5; 1/2; 5+2; 5-2; 5*2; 1/2+5; 5*(8+2); (5-2)/2; 1.5e-3; 1.5(3); (2/5)*(1/2); 5+2*(5/3-2); itp.

Dane do kalkulatora możesz wprowadzić również z uzyskanego wyniku, wystarczy złapać dowolną macierz z wyników i upuścić ją na komórki lub pole tekstowe.

Wyniki przechowywane są w plikach cookies oznacza to, że wynik będzie zachowany do momentu klinięcia .
Dzięki przechowywanym wynikom możesz porównać działania korzystając z innych kalkulatorów układu równań liniowych dostępnych na naszej stronie np. Układ równań metodą Gaussa-Jordana, Układ równań metodą Cramera, Układ równań metodą macierzy odwrotnej

Przykład 1:

2x-2y+z=-3
x+3y-2z=1
3x-y-z=2

Przykład 2:

2x-0y+z=2
x-3y-0z=1
x+y-2z=0

Przykład 3:

2x-2y+z-w=7
-x+4y-5z+3w=1
x+y-z+w=4
-4x+2y+z-2w=6

Układ równań analiza metodą Kroneckera-Capelliego

ułamki dziesiętne , ilość miejsc po przecinku =

Wynik

Policzyłeś? - kliknij polub i udostępnij

Przydatne Informacje

Układem równań liniowych nazywamy układ postaci:
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = b_{1}},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = b_{2}},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = b_{m}} \end{array} \right.}$$
gdzie:

$\mathrm{\large{a_{11},...,a_{mn}}}$ - są to współczynniki równania (dane)
$\mathrm{\large{b_{1},...,b_{m}}}$- wyrazy wolne (dane)
$\mathrm{\large{x_{1},...,x_{n}}}$- niewiadome równania

Rozróżniamu dwa rodzaje układów równań liniowych:

• układy równań liniowych jednorodne,

• układy równań liniowych niejednorodne,
Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zero.
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = 0},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = 0},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = 0} \end{array} \right.}$$

Metody rozwiązywania równań liniowych dzieli się na dwie klasy:

• metody skończone - pozwalają uzyskać rozwiązanie po wykonaniu skończonej liczby działań arytmetycznych a otrzymane rozwiązania obarczone są tylko błędami zaokrągleń.

• metody iteracyjne - polegają na wyznaczaniu ciągu wektorów zbieżnego do rozwiązania układu. Uzyskane rozwiązania są obarczone błędem metody oraz zaokrągleń. Metody te pozwalają jednak wyznaczyć rozwiązania z dowolną, z góry zadaną dokładnością.

Macierzą układu równań nazywamy macierz A wymiaru mxn jego współczynników przy zmiennych:
$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C wymiaru mx(n+1), oznaczaną także jako A|B, powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych B:
$$A|B = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right] $$

Twierdzenie Kroneckera - Capelliego

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania, jeśli rząd r macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej:
$$ rzA = rzC = r$$.

rz A = rz C = n

jest to układ oznaczony

rz A = rz C < n

(n - r)

jest to układ nieoznaczony

rz A < rz C

jest to układ sprzeczny

.

Aby rozwiązać układ m równań liniowych z n niewiadomymi stosujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego. W tym celu wyznaczamy rząd macierzy układu i macierzy rozszerzonej, poprzez sprowadzenie tych macierzy do postaci schodkowej.

Układ równań liniowych - Wikipedia (PL)
Macierz - Wikipedia (PL)

Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Rozwinięcie Laplace'a, wyznacznik macierzy 4x4

Kalkulator online oblicza wyznacznik macierzy czwartego stopnia metodą Rozwinięcia Laplace'a. Dowiemy się krok po kroku jak są wykonywane obliczenia oraz uzyskamy wyjaśnienia każdego działania. Narzędzie przydatne do nauki, utrwalenia, sprawdzenia własnych obliczeń oraz zrozumienia metody Laplace'a.

Układ równań metoda Gaussa-Crouta

Dzięki temu kalkulatorowi obliczysz układ równań metodą eliminacji Gaussa-Crouta.

Narzędzie online do rysowania wykresów dowolnej funkcji.

Dzięki temu programowi do rysowania wykresów funkcji online możesz narysować dowolną funkcję. Na wykresie możliwe jest umieszczenie aż trzech funkcji. Do większość równań i obliczeń zawartych na tej stronie możesz sporządzić wykres przy pomocy tego narzędzia. Narzędzie rysuje:
- funkcje podstawowe (pierwiastki, wykładniki, logarytmy,...),
- funkcje zagnieżdżone,
- funkcje trygonometryczne (Sinus, Cosinus, Tangens kwadrat, Arcus tangens, Secans, Arcus cosecans,...),
- funkcje hiperboliczne (Coinus hiperboliczny, Cotangens hiperboliczny, Area Sinus hiperboliczny, Area Cosecans hiperboliczny,...),
- funkcje nieróżniczkowalne (Wartość bezwzględna, Dzielenie modulo, Falka Haara, Funkcja Möbiusa, Losowa liczba, Współczynnik dwumianowy,...),
- funkcje prawdopodobieństwa (Rozkład normalny, Chi-kwadrat, Rozkład t-Studenta, rozkład Fishera, Rozkład Erlanga,...),
- funkcje statystyczne (Mediana, Rozkład Lévy'ego, Rozkład Rayleigha, Rozkład Weibulla,...),
- funkcje specjalne (Trajektoria paraboliczna, Krzywa półokręgu, Lemniskata Bernoulliego, Reguła trzech, Funkcja błędu Gaussa,...),
- funkcje programowe (Funkcja charakterystyczna boolowska, Zdefiniowana funkcja boolowska,...),
- funkcje warunkowe (Odwrotna funkcja warunkowa, Ważona funkcja warunkowa,...),
- iteracje / funkcje iteracyjne (Iterowana średnia arytmetyczna, Funkcja Mandelbrota, Poprzednia wartość funkcji,...),
- fraktale (Funkcja losowa pojedyncza, Funkcja Weierstrassa, Krzywa Takagi-Landsberga,...),
- równania różniczkowe,
- równania integralne,
- średnie statystyczne (Średnia arytmetyczna, Średnia geometryczna, Średnia harmoniczna, Średnia kwadratowa,) ,
- rozkłady dyskretne (Rozkład dwumianowy, Rozkład Poissona, Rozkład geometryczny, Rozkład logarytmiczny, Rozkład równomierny,...),
- liczby stałe (e, pi, relacja złotej proporcji, stała Feigenbauma, ...),
- krzywe (Krzywa dzwonowa Gaussa, Krzywa trójkątna, Krzywa kwadratowa, Krzywa półelipsy, Krzywa serpentynowa,...),
- podstawowe operacje arytmetyczne,
- wielomiany, itd.

Ile tapety?

Przy pomocy kalkulatora obliczysz w prosty sposób koszt oraz ilość tapety potrzebnej do wytapetowania dowolnego pomieszczenia.

Kalkulator ułamków - dodawanie krok po kroku.

Dzięki kalkulatorowi ułamków dodasz dowolne dwie liczby mieszane lub ułamki właściwe i ułamki niewłaściwe.
Kalkulator ułamków krok po kroku przedstawi w wyniku wykonane działania na ułamkach oraz poda wyjaśnienia wykonywanych czynności w celu dodania ułamków. Dowiesz się jak uprościć ułamki, jak znaleźć wspólny mianownik, jak ustalić najmniejszą wspólną wielokrotność oraz największy wspólny dzielnik.

Dzienny kalkulator kalorii. Czyli ile potrzebujemy dziennie by schudnąć, przytyć lub utrzymać wagę.

Kalkulator zapotrzebowania kalorycznego pomoże stworzyć odpowiednią dietę. Odpowie na pytanie jakie jest nasze dzienne zapotrzebowanie na kalorie i ile dziennie potrzebujemy spożyć węglowodanów, protein oraz tłuszczów aby przytyć lub schudnąć o podaną wagę w ciągu określonego czasu.
Do wyboru mamy kilka najpopularniejszych wzorów do obliczenia podstawowego tempa metabolizmu. W wyniku otrzymamy również siedmiodniowy naprzemienny cykl kaloryczny dzięki, któremu przy długotrwałych dietach możemy "oszukać" organizm spożywając różne wartości kaloryczne dziennie jednocześnie zachowując dietę tygodniową.

Funkcja kwadratowa - analiza

Za pomocą tego kalkulatora dokonasz kompletnej analizy funkcji kwadratowej wraz z wyjaśnieniami. Kalkulator wyznaczy miejsca zerowe funkcji, współrzędne jej wierzchołka, obliczy deltę oraz przedstawi postać iloczynową i postać kanoniczną naszej funkcji.

Z kalkulatora korzystano 51229 razy.

Komentarze

Zadaj pytanie, zaproponuj zmiany, znalazłeś/aś błąd napisz, wyraź swoją opinię!

Jeżeli skorzystałeś/aś z kalkulatora i zainteresował Cię lub pomógł - powiadom znajomych, dodaj link do kalkulatora na swojej stronie, blogu, forum, serwisach społecznościowych, dodaj do ulubionych i kliknij, a pomożesz innym.

Komentarze (0)

Nikt nie komentował jeszcze. Nie wstydź się, bądź pierwszy/a ;)

Dodaj komentarz

* Wymagane informacje

1000

Poinformuj mnie o nowych komentarzach przez email.

Zapamiętaj na tym komputerze wprowadzone do formularza dane.

Przeczytałem/am i zrozumiałem/am politykę prywatności.