Rozwiązanie układów równań linowych metodą eliminacji Gaussa

Dzięki temu kalkulatorowi obliczysz z wyjaśnieniami każdy układ równań liniowych zarówno jednorodnych jak i niejednorodnych z dowolną ilością niewiadomych metodą eliminacji Gaussa. W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.
Aby uzyskać wynik wprowadź współczynniki w puste komórki lub klikając w zmień na pole tekstowe i wprowadź współczynniki rozdzielając je spacją. W pole tekstowe możesz wprowadzić również pełne równania z niewiadomymi (kliknij w przykład poniżej).

Kolejne równanie oraz współczynniki możesz dodać lub odjąć używając przycisków lub ustawić kursor na komórce w ostatnim wierszu lub kolumnie i nacisnąć na klawiaturze strzałkę w odpowiednim kierunku.

Po komórkach możesz poruszać się za pomocą tabulatora, spacji lub strzałek na klawiaturze.

W każde pole kalkulatora możesz wprowadzać liczby dziesiętne, ułamki proste, podstawowe działanie matematyczne np: 1,5; 1/2; 5+2; 5-2; 5*2; 1/2+5; 5*(8+2); (5-2)/2; 1.5e-3; 1.5(3); (2/5)*(1/2); 5+2*(5/3-2); itp.

Dane do kalkulatora możesz wprowadzić również z uzyskanego wyniku, wystarczy złapać dowolną macierz z wyników i upuścić ją na komórki lub pole tekstowe.

Wyniki przechowywane są w plikach cookies oznacza to, że wynik będzie zachowany do momentu klinięcia .
Dzięki przechowywanym wynikom możesz porównać działania korzystając z innych kalkulatorów układu równań liniowych dostępnych na naszej stronie np. Układ równań metodą Gaussa-Jordana, Układ równań metodą Cramera, Układ równań metodą macierzy odwrotnej

Przykład 1:

2x-2y+z=-3
x+3y-2z=1
3x-y-z=2

Przykład 2:

2x-0y+z=2
x-3y-0z=1
x+y-2z=0

Przykład 3:

2x-2y+z-w=7
-x+4y-5z+3w=1
x+y-z+w=4
-4x+2y+z-2w=6

Układ równań liniowych metoda Gaussa

ułamki dziesiętne , ilość miejsc po przecinku =

Wynik

Policzyłeś? - kliknij polub i udostępnij

Przydatne Informacje

Układem równań liniowych nazywamy układ postaci:
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = b_{1}},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = b_{2}},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = b_{m}} \end{array} \right.}$$
gdzie:

$\mathrm{\large{a_{11},...,a_{mn}}}$ - są to współczynniki równania (dane)
$\mathrm{\large{b_{1},...,b_{m}}}$- wyrazy wolne (dane)
$\mathrm{\large{x_{1},...,x_{n}}}$- niewiadome równania

Rozróżniamu dwa rodzaje układów równań liniowych:

• układy równań liniowych jednorodne,

• układy równań liniowych niejednorodne,
Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zero.
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = 0},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = 0},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = 0} \end{array} \right.}$$

Metody rozwiązywania równań liniowych dzieli się na dwie klasy:

• metody skończone - pozwalają uzyskać rozwiązanie po wykonaniu skończonej liczby działań arytmetycznych a otrzymane rozwiązania obarczone są tylko błędami zaokrągleń.

• metody iteracyjne - polegają na wyznaczaniu ciągu wektorów zbieżnego do rozwiązania układu. Uzyskane rozwiązania są obarczone błędem metody oraz zaokrągleń. Metody te pozwalają jednak wyznaczyć rozwiązania z dowolną, z góry zadaną dokładnością.

Jedną z metod skończonych rozwiązywania układu równań liniowych jest metoda eliminacji Gaussa.

Metoda eliminacji Gaussa służy do rozwiązywania układów równań i polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli do uzyskania zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy, ułatwieniem może też być utworzenie jedynki na przekątnej jednak to nie jest konieczne. Aby to uzyskać możemy zamieniać wiersze między sobą, dodawać je do siebie, oraz mnożyć przez liczbę różną od zera.

Rozwiązywanie układu równań metodą eliminacji Gaussa przebiega w dwóch etapach:

1. etap postępowania prostego - układ równań zostaje przekształcony do postaci równoważnej (mającej takie samo rozwiązanie, co układ wyjściowy) z trójkątną górną macierzą główną układu,

2. etap postępowania odwrotnego - układ w postaci równoważnej zostaje rozwiązany.

Układ równań liniowych - Wikipedia (PL)
Macierz - Wikipedia (PL)

Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Rzut pionowy - prędkość, czas, wysokość

Dzięki kalkulatorowi obliczysz prędkość jaką miało ciało rzucone pionowo po upływie określonego czasu oraz prędkość początkową nadaną ciału. Obliczysz również czas jaki upłynął od momentu rzutu do osiągnięcia określonej prędkości, czas lotu ciała do powrotu na miejsce rzutu oraz czas po jakim ciało osiągnie maksymalna wysokość. Kalkulator pomoże również w obliczeniu wysokości na jakiej znajduje się ciało po upływie określonego czasu oraz obliczy maksymalną wysokość jaką osiągnie ciało. Dzięki kalkulatorowi ocenisz także przyspieszenie grawitacyjne, które może być przydatne w określeniu gdzie ciało zostało rzucone.

Układ równań metoda macierzy odwrotnej z wyjaśnieniami

Dzięki temu kalkulatorowi obliczysz z wyjaśnieniami każdy układ równań liniowych zarówno jednorodnych jak i niejednorodnych z dowolną ilością niewiadomych metodą macierzy odwrotnej. W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.

SINUS Kalkulator

Dzięki kalkulatorowi funkcji trygonometrycznej SINUS obliczysz wartości dowolnej funkcji sinusa. Oprócz wyników w odpowiedzi kalkulator narysuje również wykres wybranej funkcji. Możesz wybrać jedną z gotowych funkcji np. sinus, sinus² - sinus kwadrat, arcsin - arcus sinus, sinh - sinus hiperboliczny, arsinh - funkcja odwrotna do sinh, sinc - funkcja interpolująca, versin - sinus versus, możesz też wprowadzić własną funkcję np. sin(x)*sin(x)*sin(x) dla sin³(x), sin(2x), sin(x+3), sin(x^2) itp.

Funkcja sześcienna

Za pomocą kalkulatora matematycznego obliczysz w prosty i szybki sposób pierwiastki funkcji sześciennej lub równania sześciennego inaczej zwanego równaniem trzeciego stopnia.

Mediana, Dominanta, Moda, Średnia arytmetyczna

Kalkulator online oblicza medianę inaczej wartość środkową lub wartość przeciętną , najczęściej występujące liczby w podanym zbiorze czyli dominantę badając czy istnieje, średnią arytmetyczną oraz sortuje dane w kolejności rosnącej.

Macierz 2x2

Dzięki kalkulatorowi matematycznemu obliczysz w prosty sposób wyznacznik macierzy, wyznaczysz macierz dopelnień, macierz transponowaną, macierz odwrotną.

Iloczyn zbiorów.

Kalkulator oblicza iloczyn dwóch zbiorów A oraz B.

Komentarze

Zadaj pytanie, zaproponuj zmiany, znalazłeś/aś błąd napisz, wyraź swoją opinię!

Jeżeli skorzystałeś/aś z kalkulatora i zainteresował Cię lub pomógł - powiadom znajomych, dodaj link do kalkulatora na swojej stronie, blogu, forum, serwisach społecznościowych, dodaj do ulubionych i kliknij, a pomożesz innym.

Komentarze (0)

Nikt nie komentował jeszcze. Nie wstydź się, bądź pierwszy/a ;)

Dodaj komentarz

* Wymagane informacje

1000

Poinformuj mnie o nowych komentarzach przez email.

Zapamiętaj na tym komputerze wprowadzone do formularza dane.

Przeczytałem/am i zrozumiałem/am politykę prywatności.