Rozwiązanie układu równań linowych metodą Cramera.

Dzięki temu kalkulatorowi obliczysz z wyjaśnieniami każdy układ równań liniowych zarówno jednorodnych jak i niejednorodnych z dowolną ilością niewiadomych metodą Cramera.W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.
Aby uzyskać wynik wprowadź współczynniki w puste komórki lub klikając w zmień na pole tekstowe i wprowadź współczynniki rozdzielając je spacją. W pole tekstowe możesz wprowadzić również pełne równania z niewiadomymi (kliknij w przykład poniżej).

Kolejne równanie oraz współczynniki możesz dodać lub odjąć używając przycisków lub ustawić kursor na komórce w ostatnim wierszu lub kolumnie i nacisnąć na klawiaturze strzałkę w odpowiednim kierunku.

Po komórkach możesz poruszać się za pomocą tabulatora, spacji lub strzałek na klawiaturze.

W każde pole kalkulatora możesz wprowadzać liczby dziesiętne, ułamki proste, podstawowe działanie matematyczne np: 1,5; 1/2; 5+2; 5-2; 5*2; 1/2+5; 5*(8+2); (5-2)/2; 1.5e-3; 1.5(3); (2/5)*(1/2); 5+2*(5/3-2); itp.

Dane do kalkulatora możesz wprowadzić również z uzyskanego wyniku, wystarczy złapać dowolną macierz z wyników i upuścić ją na komórki lub pole tekstowe.

Wyniki przechowywane są w plikach cookies oznacza to, że wynik będzie zachowany do momentu klinięcia .
Dzięki przechowywanym wynikom możesz porównać działania korzystając z innych kalkulatorów układu równań liniowych dostępnych na naszej stronie np. Układ równań metodą Gaussa Układ równań metodą Gaussa-Jordana, Układ równań metodą macierzy odwrotnej

Przykład 1:

2x-2y+z=-3
x+3y-2z=1
3x-y-z=2

Przykład 2:

2x-0y+z=2
x-3y-0z=1
x+y-2z=0

Przykład 3:

2x-2y+z-w=7
-x+4y-5z+3w=1
x+y-z+w=4
-4x+2y+z-2w=6

Układ równań liniowych metoda Cramera

ułamki dziesiętne , ilość miejsc po przecinku =

Wynik

Policzyłeś? - kliknij polub i udostępnij

Przydatne Informacje

Układem równań liniowych nazywamy układ postaci:
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = b_{1}},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = b_{2}},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = b_{m}} \end{array} \right.}$$
gdzie:

$\mathrm{\large{a_{11},...,a_{mn}}}$ - są to współczynniki równania (dane)
$\mathrm{\large{b_{1},...,b_{m}}}$- wyrazy wolne (dane)
$\mathrm{\large{x_{1},...,x_{n}}}$- niewiadome równania

Rozróżniamu dwa rodzaje układów równań liniowych:

• układy równań liniowych jednorodne,

• układy równań liniowych niejednorodne,
Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zero.
$$\large{\left\{\begin{array}{1} \mathrm{a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{1n}x_{n} = 0},\\ \mathrm{a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}}&+&\dotsb&+&\mathrm{a_{2n}x_{n} = 0},\\ \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}}&+&\cdots&+&\mathrm{a_{mn}x_{n} = 0} \end{array} \right.}$$

Metody rozwiązywania równań liniowych dzieli się na dwie klasy:

• metody skończone - pozwalają uzyskać rozwiązanie po wykonaniu skończonej liczby działań arytmetycznych a otrzymane rozwiązania obarczone są tylko błędami zaokrągleń.

• metody iteracyjne - polegają na wyznaczaniu ciągu wektorów zbieżnego do rozwiązania układu. Uzyskane rozwiązania są obarczone błędem metody oraz zaokrągleń. Metody te pozwalają jednak wyznaczyć rozwiązania z dowolną, z góry zadaną dokładnością.

Twierdzenie Cramera:
Jeżeli wyznacznik macierzy współczynników układu jest różny od zera (detA≠0), to układ równań liniowych w postaci wektorowej $ \color{blue}{ x_1} \mathbf a_1 + \dots + \color{blue}{x_n} \mathbf a_n = \color{red}{ \mathbf b}$ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:
$$\color{blue}{x_1} = \frac{\det(\color{red}{\mathbf b},\; \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}{\det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)},$$ $$\vdots$$ $$\color{blue}{x_n} = \frac{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1},\; \color{red}{ \mathbf b})}{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1}, \mathbf a_n)}$$. czyli
$$x_i = \frac{W_i}{W};$$gdzie

$W = detA$ - jest to wyznacznik macierzy współczynników układu. Jest to tzw. wyznacznik główny.

$W_i$ - jest to wyznacznik z macierzy, która powstaje z macierzy $A$, przez zastąpienie kolumny współczynników niewiadomej $\color{blue}{x_i}$ przez kolumnę wyrazów wolnych $\color{red}{b}$.

Układ równań możemy zapisać w postaci macierzowej:
$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{blue}{x_1} \\ \color{blue}{x_2} \\ \vdots \\ \color{blue}{x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}{b_1} \\ \color{red}{b_2} \\ \vdots \\ \color{red}{b_n} \end{bmatrix} .$$ Mając daną macierz kwadratową wyrazów wolnych, gdzie liczba wierszy jest równa liczbie kolumn (m=n) obliczmy wyznacznik główny W.
$$W = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{vmatrix}$$ Jeżeli W≠0 obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych W₁, W₂ ... W_n zastępując odpowiednią kolumnę współczynników kolumną wyrazów wolnych.
$$W_1 = \begin{vmatrix} \color{red}{b_1} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \color{red}{b_2} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \color{red}{b_n} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{vmatrix}; W_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & \color{red}{b_1} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \color{red}{b_2} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \color{red}{b_n} & \dots & a_{mn} \end{vmatrix}; ...; W_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & \color{red}{b_1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & \color{red}{b_2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & \color{red}{b_n} \end{vmatrix}$$
Teraz zgodnie z podanym wyżej wzorem podstawiając wyznaczniki możemy obliczyć niewiadome.

Układ równań liniowych - Wikipedia (PL)
Macierz - Wikipedia (PL)

Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Dzienny kalkulator kalorii. Czyli ile potrzebujemy dziennie by schudnąć, przytyć lub utrzymać wagę.

Kalkulator zapotrzebowania kalorycznego pomoże stworzyć odpowiednią dietę. Odpowie na pytanie jakie jest nasze dzienne zapotrzebowanie na kalorie i ile dziennie potrzebujemy spożyć węglowodanów, protein oraz tłuszczów aby przytyć lub schudnąć o podaną wagę w ciągu określonego czasu.
Do wyboru mamy kilka najpopularniejszych wzorów do obliczenia podstawowego tempa metabolizmu. W wyniku otrzymamy również siedmiodniowy naprzemienny cykl kaloryczny dzięki, któremu przy długotrwałych dietach możemy "oszukać" organizm spożywając różne wartości kaloryczne dziennie jednocześnie zachowując dietę tygodniową.

Szyfr ADFGX/ADFVGX - koder/dekoder

Szyfr ADFGX/ADFVGX jest to prosty szyfr podstawieniowy używany przez wojska niemieckie w czasie pierwszej wojny światowej do komunikacji na polu bitwy. Za pomocą naszego kodera zarówno zaszyfrujesz oraz odszyfrujesz każdy tekst szyfrem ADFGX/ADFVGX.

CATENARY Kalkulator - Krzywa łańcuchowa

Dzięki kalkulatorowi funkcji trygonometrycznej CATENARY obliczysz wartości krzywej łańcuchowej catenary. Oprócz wyników w odpowiedzi kalkulator narysuje również wykres wybranej funkcji. Możesz wybrać gotową funkcję np. cat(?#x) gdzie za znak ? podstawisz np. 2 dla catenary dwa co równe będzie 2*cosh(x/2)lub wprowadzić własną funkcję np. cat(2#x^2) dla 2*cosh((x^2)/2), cat(2#x+3) dla 2*cosh((x+3)/2) itp.

COSECANS Kalkulator

Dzięki kalkulatorowi funkcji trygonometrycznej COSECANS obliczysz wartości dowolnej funkcji cosecans. Oprócz wyników w odpowiedzi kalkulator narysuje również wykres wybranej funkcji. Możesz wybrać jedną z gotowych funkcji np. cosecans, arccosec - arcus cosecans, cosech - cosecans hiperboliczny, arcosech - funkcja odwrotna do cosech, możesz też wprowadzić własną funkcję np. cosec(x)*cosec(x)*cosec(x) dla cosec³(x), cosec(2x), cosec(x+3), cosec(x^2) itp.

Funkcja Liniowa

Za pomocą kalkulatora matematycznego obliczysz w prosty i szybki sposób współczynnik kierunkowy, punkt przecięcia z osią Y.

Macierz 2x2

Dzięki kalkulatorowi matematycznemu obliczysz w prosty sposób wyznacznik macierzy, wyznaczysz macierz dopelnień, macierz transponowaną, macierz odwrotną.

Układ równań metoda Gaussa-Jordana z wyjaśnieniami

Dzięki temu kalkulatorowi obliczysz z wyjaśnieniami każdy układ równań liniowych zarówno jednorodnych jak i niejednorodnych z dowolną ilością niewiadomych metodą eliminacji Gaussa–Jordana. W wyniku oprócz rozwiązania otrzymasz również pełną analizę oraz przedstawienie obliczeń krok po kroku.

Komentarze

Zadaj pytanie, zaproponuj zmiany, znalazłeś/aś błąd napisz, wyraź swoją opinię!

Jeżeli skorzystałeś/aś z kalkulatora i zainteresował Cię lub pomógł - powiadom znajomych, dodaj link do kalkulatora na swojej stronie, blogu, forum, serwisach społecznościowych, dodaj do ulubionych i kliknij, a pomożesz innym.

Komentarze (0)

Nikt nie komentował jeszcze. Nie wstydź się, bądź pierwszy/a ;)

Dodaj komentarz

* Wymagane informacje

1000

Poinformuj mnie o nowych komentarzach przez email.

Zapamiętaj na tym komputerze wprowadzone do formularza dane.

Przeczytałem/am i zrozumiałem/am politykę prywatności.