Trapez - Informacje

Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków; (wybraną) parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu. Niektóre potoczne definicje określają trapez jako czworokąt mający tylko jedną parę boków równoległych i zgodnie z nimi równoległobok nie jest trapezem. Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi 180°.
Jeśli P oznacza punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty ΔADP i ΔBCP mają równe pola, a ΔABP i ΔCDP są podobne. Trójkąty ΔABC i ΔABD mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty ΔBCP i ΔADP powstają z nich przez „odjęcie” trójkąta ΔABP.

Trapez następujące własności:

1. Trapez jest figurą wypukłą.
2. Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2Π (360°), a suma miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu wynosi Π, $$ \alpha + \delta = 180° $$$$ \beta + \gamma = 180° $$
3. Wzór na pierwszą przekątną trapezu z boków (a) i (b) oraz kąta β
$$ e=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\beta)} $$
4. Wzór na pierwszą przekątną trapezu z boków (c) i (d) oraz kąta δ
$$ e=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\delta)} $$
5. Wzór na pierwszą przekątną trapezu z boków (a)(b)(c)(d)
$$ e= \sqrt{\frac{ac^2 - a^2c - ad^2 + b^2c}{c-a}} $$
6. Wzór na drugą przekątną trapezu z boków (a) i (d) oraz kąta α
$$ f=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cdot \cos(\alpha)} $$
7. Wzór na drugą przekątną trapezu z boków (b) i (c) oraz kąta γ
$$ f=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\gamma)} $$
8. Wzór na drugą przekątną trapezu z boków (a)(b)(c)(d)
$$ f= \sqrt{\frac{ac^2 - a^2c - ab^2 + cd^2}{c-a}} $$
9. Wzór na wysokość trapezu z boków (a)(c) i pola powierzchni
$$ h=\frac{2S}{a+c} $$
10. Wzór na wysokość trapezu z ramion (b)(d) i kąta
$$ h=b \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \gamma $$ $$ = d \cdot \sin \alpha = d \cdot \sin \delta $$
11. Wzór na wysokość trapezu z boków
$$ h= \frac{\sqrt{i \cdot j \cdot k \cdot l}}{2|c-a|} $$ gdzie: $$ i=-a+b+c+d,$$$$j=a+b-c+d,$$$$k=a+b-c-d,$$$$l=a-b-c+d.$$
12. Wzór na pole powierzchni trapezu z podstaw (a) i (b) oraz wysokości (h)
$$ S={\frac {a+c}{2}}\cdot h $$
13. Wzór na pole powierzchni trapezu z boków i kąta(α) lub kąta(β)
$$ S=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot d\cdot \sin\beta $$$$ S=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot b\cdot \sin\beta $$
14. Wzór na pole powierzchni trapezu z boków (a)(b)(c)(d)
$$ S=\frac{a+c}{4|c-a|}\sqrt{i \cdot j \cdot k \cdot l}. $$ gdzie: $$ i=-a+b+c+d,$$$$j=a+b-c+d,$$$$k=a+b-c-d,$$$$l=a-b-c+d.$$
15. Wzór na obwód trapezu z boków
$$ L = a + b + c + d $$
16. Wzór na obwód trapezu z podstaw, wysokości i kątów(α) oraz (β)
$$ L = a+c+h*(\frac{1}{\sin(\alpha)}+\frac{1}{\sin(\beta)}) $$
17. Wzór na długość podstawy (a) trapezu z boków (b)(c)(d) i wysokości (h)
$$ a=c+\sqrt{d^2-h^2}+\sqrt{b^2-h^2} $$
18. Wzór na długość ramienia (b) trapezu z boków (a)(c)(d) i wysokości (h)
$$ b=\sqrt{h^2-(-a+c+\sqrt{d^2-h^2})^2} $$
19. Wzór na długość podstawy (c) trapezu z boków (a)(b)(d) i wysokości (h)
$$ c=a-\sqrt{d^2-h^2}-\sqrt{b^2-h^2} $$
20. Wzór na długość ramienia (d) trapezu z boków (a)(b)(c) i wysokości (h)
$$ d=\sqrt{h^2+(a-c-\sqrt{b^2-h^2})^2} $$
21. Wzór na środkową trapezu $$ m=\frac {a+c}{2} $$