Kwartyl Q1, Q2, Q3 szeregu rozdzielczego przedziałów klasowych.- Calcoolator.pl

Przydatne Informacje

Kwartyl jest jedną z miar tendencji centralnej, które służą do wyznaczania tej wartości cechy, wokół której grupują się dane. Chodzi zatem o skoncentrowanie większości danych wokół jakiegoś reprezentanta badanej cechy.
W grupie miar pozycyjnych (miar tendencji centralnej) wyróżnić można kwantyle, spośród których najczęściej używanymi miarami są kwartyle (wartości ćwiartkowe).

Kwartyl I Q₁ (dolny) dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek ma wartości nie większe niż Q1, a pozostałe 75% równe lub wyższe od tego kwartyla;

Wzór na wyznaczenie kwartyla I w szeregach rozdzielczych przedziałowych:

$$Q_1=x_{0Q1} + (N_{Q_1} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_1}}{n_{Q_1}}$$

n_Q1 - liczebność przedziału zawierającego kwartyl pierwszy
x_0Q1 - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl pierwszy
n_isk-1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną kwartyla pierwszego
h_Q1 = x_1Q1(górne) - x_0Q1(dolne) - rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl pierwszy
N_Q1 = $\frac{n}{4}$ - numer (pozycja) kwartyla pierwszego dla obserwacji parzystych
N_Q1 = $\frac{n+1}{4}$ - numer (pozycja) kwartyla pierwszego dla obserwacji nieparzystych

Kwartyl II Q₂ (mediana, wartość środkowa) dzieli uporządkowaną niemalejąco zbiorowość na dwie części w ten sposób, że połowa jednostek zbiorowości ma wartości zmiennej równe lub większe od mediany, stąd też mediana bywa nazywana wartością środkową.

Wzór na wyznaczenie kwartyla II w szeregach rozdzielczych przedziałowych:

$$Q_2=x_{0Q2} + (N_{Q_2} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_2}}{n_{Q_2}}$$

n_Q2 - liczebność przedziału zawierającego kwartyl drugi
x_0Q2 - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl drugi
n_isk-1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną kwartyla drugiego
h_Q2 = x_1Q2(górne) - x_0Q2(dolne) - rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl drugi
N_Q2 = $\frac{n}{2}$ - numer (pozycja) kwartyla drugiego dla obserwacji parzystych
N_Q2 = $\frac{n+1}{2}$ - numer (pozycja) kwartyla drugiego dla obserwacji nieparzystych

Kwartyl III Q₃ (górny) dzieli zbiorowość uporządkowaną w ten sposób, że 75% jednostek ma wartości cechy nie wyższe niż Q3 a pozostałe 25% nie niższe niż kwartyl III.

Wzór na wyznaczenie kwartyla III w szeregach rozdzielczych przedziałowych:

$$Q_3=x_{0Q3} + (N_{Q_3} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_3}}{n_{Q_3}}$$

n_Q3 - liczebność przedziału zawierającego kwartyl trzeci
x_0Q3 - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl trzeci
n_isk-1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną kwartyla trzeciego
h_Q3 = x_1Q3(górne) - x_0Q3(dolne) - rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl trzeci
N_Q3 = $\frac{3·n}{4}$ - numer (pozycja) kwartyla trzeciego dla obserwacji parzystych
N_Q3 = $\frac{3·(n+1)}{2}$ - numer (pozycja) kwartyla trzeciego dla obserwacji nieparzystych

PRZYKŁAD

W jednej z firm zbadano odległość zamieszkania pracowników od zakładu pracy, dane kształtowały się następująco:

Odległość zamieszkania w km. $ (x_{0i}+x_{1i})$	Liczba pracowników $(n_i) $
0-5	5
5-10	25
10-15	30
15-20	55
20-25	30
25-30	20
30-35	15

Za zadanie mamy obliczyć kwartyle podanego szeregu rozdzielczego.

Na początku powinniśmy obliczyć liczebności skumulowane. W naszym przykładzie dodajemy do siebie po kolei wartości z kolumny Liczba pracowników. Obliczenia przedstawia tabela poniżej.

Odległość zamieszkania w km. $ (x_{0i}+x_{1i})$	Liczba pracowników $(n_i) $	Liczebności skumulowane $(n_{isk})$
0-5	5	0+5=5
5-10	25	5+25=30
10-15	30	30+30=60
15-20	55	60+55=115
20-25	30	115+30=145
25-30	20	145+20=165
30-35	15	165+15=180

Teraz możemy przejść do obliczenia pozycji (numeru) kwartyli Q₁,Q₂,Q₃.
Pozycja Q₁ $N_{Q_1}=\frac{n}{4}$
Pozycja Q₂ $N_{Q_2}=\frac{n}{2}$
Pozycja Q₃ $N_{Q_3}=\frac{3·n}{4}$
gdzie n jest to liczebność badanej zbiorowości. W naszym przykładzie jest to liczba pracowników, n=180 czyli parzysta (dlatego wykorzystaliśmy wzór dla obserwacji parzystych). Podstawiając do wzorów otrzymujemy:

$$N_{Q1}=\frac{180}{4}=45$$

$$N_{Q2}=\frac{180}{2}=90$$

$$N_{Q3}=\frac{3·180}{4}=135$$

Aby sprawdzić do jakiego przedziału należą kwartyle szukamy w kolumnie Liczebności skumulowane pierwszej wartości większej lub równej pozycji kwartyla. W naszym zadaniu będzie to:
- dla kwartyla I Q₁ wartość 60. Ponieważ 60 jest pierwszą liczebnością skumulowaną większą od numeru kwartyla I - 45. Czyli widzimy, że Q₁ należy do przedziału 10-15 km, którego liczebność (liczba pracowników) wynosi 30.
- dla kwartyla II Q₂ wartość 115. Ponieważ 115 jest pierwszą liczebnością skumulowaną większą od numeru kwartyla II - 90. Czyli widzimy, że Q₂ należy do przedziału 15-20 km, którego liczebność (liczba pracowników) wynosi 55.
- dla kwartyla III Q₃ wartość 145. Ponieważ 145 jest pierwszą liczebnością skumulowaną większą od numeru kwartyla III - 135. Czyli widzimy, że Q₃ należy do przedziału 20-35 km, którego liczebność (liczba pracowników) wynosi 30.

Wiemy już do jakiego przedziału należy każdy z kwartyli ale nie znamy ich dokładnej wartości. Do obliczenia wartości kwartyli szeregu rozdzielczego przedziałowego posłużą nam niżej podane wzory, do których możemy podstawić dane.

Kwartyl I Q₁

$$Q_1=x_{0Q1} + (N_{Q_1} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_1}}{n_{Q_1}}$$

gdzie:
x_0Q1 = 10- jest to dolna granica przedziału zawierającego kwarty pierwszy. Wcześniej ustaliliśmy, że przedział ten to 10-15 km, czyli dolna jego granica wyniesie 10.
N_Q1 = 45 - jest to pozycja (numer) kwartyla pierwszego, którą obliczyliśmy wcześniej ze wzoru $ N_{Q1}=\frac{n}{4} $
n_isk-1 = 30 - to jest liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną, do której należy kwartyl pierwszy. Ustaliliśmy, że liczebność skumulowana, do której należy kwarty pierwszy to 60. Patrząc w tabeli na wiersz powyżej widzimy, że skumulowana liczebność poprzedzająca równa jest 30.
h_Q1 = x_1Q1(górne) - x_0Q1(dolne) = 15-10 = 5 - jest to rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl pierwszy. Jak już wiemy przedział kwartyla pierwszego to 10 - 15 km, a więc aby obliczyć rozpiętość od górnej wartości odejmujemy wartość dolną.
n_Q1 = 30 - to liczebność przedziału (liczba pracowników) zawierającego kwartyl pierwszy.

Podstawiając do wzoru na kwartyl I otrzymujemy:

$$Q_1=10 + (45 - 30) · \frac{5}{30} = 12,5 $$

Kwartyl II Q₂

$$Q_2=x_{0Q2} + (N_{Q_2} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_2}}{n_{Q_2}}$$

gdzie:
x_0Q2 = 15- jest to dolna granica przedziału zawierającego kwarty drugi. Wcześniej ustaliliśmy, że przedział ten to 15-20 km, czyli dolna jego granica wyniesie 15.
N_Q2 = 90 - jest to pozycja (numer) kwartyla drugiego, którą obliczyliśmy wcześniej ze wzoru $ N_{Q2}=\frac{n}{2} $
n_isk-1 = 60 - to jest liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną, do której należy kwartyl drugi. Ustaliliśmy, że liczebność skumulowana, do której należy kwarty drugi to 115. Patrząc na wiersz powyżej widzimy, że skumulowana liczebność poprzedzająca równa jest 60.
h_Q2 = x_1Q2(górne) - x_0Q2(dolne) = 20-15 = 5 - rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl drugi. Przedział kwartyla drugiego to 15 - 20 km, a więc aby obliczyć rozpiętość od górnej wartości odejmujemy wartość dolną.
n_Q2 = 55 - to liczebność przedziału zawierającego kwartyl drugi.

Podstawiając do wzoru na kwartyl II otrzymujemy:

$$Q_2=15 + (90 - 60) · \frac{5}{55} = 17,73 $$

Kwartyl III Q₃

$$Q_3=x_{0Q3} + (N_{Q_3} - n_{isk-1}) · \frac{h_{Q_3}}{n_{Q_3}}$$

gdzie:
x_0Q3 = 20- jest to dolna granica przedziału zawierającego kwarty trzeci. Wcześniej ustaliliśmy, że przedział ten to 20 - 25 km, czyli dolna jego granica wyniesie 20.
N_Q3 = 135 - jest to pozycja (numer) kwartyla trzeciego, którą obliczyliśmy wcześniej ze wzoru $ N_{Q3}=\frac{3·n}{2} $
n_isk-1 = 115 - to jest liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną, do której należy kwartyl trzeci. Ustaliliśmy, że liczebność skumulowana, do której należy kwarty trzeci to 145. Patrząc w tabeli na wiersz powyżej widzimy, że skumulowana liczebność poprzedzająca równa jest 115.
h_Q3 = x_1Q3(górne) - x_0Q3(dolne) = 25-20 = 5 - rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwartyl trzeci. Przedział kwartyla trzeciego to 20 - 25 km, a więc aby obliczyć rozpiętość od górnej wartości odejmujemy wartość dolną.
n_Q3 = 30 - to liczebność przedziału zawierającego kwartyl trzeci.

Podstawiając do wzoru na kwartyl III otrzymujemy:

$$Q_3=20 + (135 - 115) · \frac{5}{30} = 23,33 $$

Interpretacja: 25% pracowników mieszka w odległości nie większej niż 12,5 km od zakładu pracy a pozostałe 75% mieszka w odległości większej niż 12,5 km od zakładu pracy.
Natomiast połowa pracowników mieszka w odległości 17,73 km lub mniejszej a druga część w odległości większej niż 17,73 km od zakładu pracy.
Obliczyliśmy też, że większość czyli 75% pracowników mieszka w odległości mniejszej niż 23,33 km od zakładu pracy a pozostałe 25% w odległości większej.

Mediana - Wikipedia (PL)

Kwartyl Q1, Q2, Q3 szeregu rozdzielczego przedziałów klasowych.

Kwartyle - szereg rozdzielczy przedziałowy

Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Regresja liniowa

Dominanta szeregu rozdzielczego przedziałowego

Średnia ważona arytmetyczna

SECANS Kalkulator

Mediana szeregu rozdzielczego przedziałowego

Odchylenie standardowe, wariancja, średnia arytmetyczna

Mediana, Dominanta, Moda, Średnia arytmetyczna

Komentarze (1)

Dodaj komentarz

Polityka prywatności

Podręczny kalkulator online

Odległość zamieszkania w km. \( (x_{0i}+x_{1i})\)	Liczba pracowników \((n_i) \)
0-5	5
5-10	25
10-15	30
15-20	55
20-25	30
25-30	20
30-35	15

Odległość zamieszkania w km. \( (x_{0i}+x_{1i})\)	Liczba pracowników \((n_i) \)	Liczebności skumulowane \((n_{isk})\)
0-5	5	0+5=5
5-10	25	5+25=30
10-15	30	30+30=60
15-20	55	60+55=115
20-25	30	115+30=145
25-30	20	145+20=165
30-35	15	165+15=180

Przedziały klasowe	Liczebność