Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez dodanie ustalonej liczby r do poprzedniego wyrazu. Różnica kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest stała, równa r.
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli dla każdego n, a_n+1-a_n= r = constans,

. a1 – pierwszy wyraz ciągu
r – różnica ciągu

Jeżeli:
• r > 0 to ciąg jest rosnący
• r < 0 to ciąg jest malejący
• r = 0 to ciąg jest stały
Wzór na kolejny wyraz ciągu. Mając dany pierwszy wyraz ciągu a1 i różnicę r możemy wyznaczyć każdy jego wyraz. Wykorzystujemy wtedy następujące wzory:

a_n = a_n-1 + r lub a_n = a₁ + (n-1)r

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami w ciągu arytmetycznym:

a_n = (a_n-1 + a_n+1)/2 dla n ≥ 2

Z powyższego wzoru wynika, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów, to znaczy wyrazów poprzedniego i następnego:

Suma S_n = a₁ + a₂ + a₃ +... + a_n , n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r, wyraża się wzorem:

S_n = ((a₁ + a_n)/2)ּn dla S_n = ((2a₁ + (n-1)r)/2)ּn