Szyfr afiniczny - koder/dekoder

Szyfr afiniczny jest to szyfr należący do grupy monoalfabetycznych szyfrów podstawieniowych.

Rodzina szyfrów monoalfabetycznych posiada jedną bardzo ważną cechę, a mianowicie jednej literze alfabetu jawnego odpowiada dokładnie jedna litera alfabetu tajnego. Funkcja szyfrująca wygląda następująco: $$ f(x)=ax+b\mod \ m$$ x - szyfrowana litera,
(a,b) - klucz,
m - liczba liter w alfabecie (zwykle 26 bo tyle liter ma język angielski, w naszym kalkulatorze użyliśmy 35 liter z polskimi).

Łatwo zauważyć, że jeśli a = 1, to mamy do czynienia ze zwykłym przesunięciem (jak w szyfrze Cezara).

Szyfr afiniczny ma sens tylko wtedy, gdy funkcja afiniczna f jest różnowartościowa tzn. gdy dla dowolnego y należącego do zbioru klas reszt \begin{align} {\mathbb {Z} }_{m}\end{align} równanie $$ ax+b\equiv y\mod \ m$$ ma co najwyżej jedno rozwiązanie ze względu na zmienną x. Zapiszmy nasze równanie w sposób następujący: $$ ax\equiv y-b\mod \ m$$

Zauważmy, że gdy wartości y przebiegają cały zbiór $$ {\mathbb {Z} }_{m} $$, to i wartości y-b się wyczerpują, czyli wystarczy jeśli zbadamy rozwiązywalność równań $$ ax\equiv y\mod \ m$$ dla $$ y\in {\mathbb {Z} }_{m}$$

Równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego $$ y\in {\mathbb {Z} }_{m}$$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$\rm {NWD}(a,m)=1$$ (gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik dwóch liczb).

Funkcja deszyfrująca dla tego szyfru wygląda tak : $$ d(y)=a^{-1}*(y-b)\mod m$$ gdzie $$ a^{-1}$$ jest odwrotnością a w pierścieniu $$ {\mathbb {Z} }_{26} $$ Wzór wynika z wyliczeń: \begin{aligned}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=a^{-1}ax\mod {m}\\&=x\mod {m}.\end{aligned} Więcej na: Wikipedia - Szyfr afiniczny