Trapez - Informacje

Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków; (wybraną) parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu. Niektóre potoczne definicje określają trapez jako czworokąt mający tylko jedną parę boków równoległych i zgodnie z nimi równoległobok nie jest trapezem. Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi 180°.

Trapez równoramienny to trapez o ramionach równej długości. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.

Trapez równoramienny ma następujące własności:

1. Trapez jest figurą wypukłą.
2. Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2Π (360°), a suma miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu wynosi Π, $$ \alpha + \beta = 180° $$
3. Wzór na kąt α $$ \alpha = \arccos( \frac{(\frac{a-b}{2})^2 + c^2-h^2 }{2c\cdot\frac{a-b}{2}} ) $$
4. Wzór na przekątną trapezu równoramiennego z boków (a) i (c) oraz kąta α
$$ d=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)} $$
5. Wzór na przekątną trapezu równoramiennego z boków (b) i (c) oraz kąta β
$$ d=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\beta)} $$
6. Wzór na przekątną trapezu równoramiennego z boków (a)(b)(c)
$$ d= \sqrt{a\cdot b+c^2} $$
7. Wzór na przekątną trapezu równoramiennego z pola powierzchni i kąta γ
$$ d= \frac{2S}{\sin \gamma} $$
8. Wzór na długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym z przekątnej (d) i kąta α lub β
$$ R=\frac{d}{2\sin \alpha} $$ $$ R=\frac{d}{2\sin \beta} $$
9. Wzór na długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym z ramienia (c), przekątnej (d) i wysokości (h)
$$ R=\frac{c\cdot d}{2h} $$
10. Wzór na długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym z boków (a)(b)(c)
$$ R= c\cdot\sqrt{\frac{a\cdot b + c^2}{4c^2-(a-b)^2}} $$
11. Wzór na wysokość trapezu równoramiennego z boków (a)(b) i pola powierzchni
$$ h=\frac{2S}{a+b} $$
12. Wzór na wysokość trapezu równoramiennego z ramienia (c) i kąta
$$ h=c \cdot \sin \alpha = c \cdot \sin \beta $$
13. Wzór na wysokość trapezu równoramiennego z boków
$$ h= \frac{\sqrt{4c^2 - (a-b)^2 }}{2} $$
14. Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego z podstaw (a) i (b) oraz wysokości (h)
$$ S={\frac {a+b}{2}}\cdot h $$
15. Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego z boków i kąta(α)
$$ S=\frac{(a+b)\cdot c\cdot \sin\alpha}{2} $$
16. Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego z boków (a)(b)(c)
$$ S=\frac{\sqrt{(a+b)^2\cdot(a-b+2c)\cdot(b-a+2c)}}{4} $$
17. Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego z przekątnej (d) i kąta(γ)
$$ S=\frac{d^2}{2}\cdot\sin\gamma $$
18. Wzór na obwód trapezu równoramiennego z boków
$$ L = a + b + 2c $$
19. Wzór na obwód trapezu równoramiennego z podstaw, wysokości i kąta(α)
$$ L = a+b+\frac{2h}{\sin(\alpha)} $$
20. Wzór na długość podstawy (a) trapezu równoramiennego z boków (b)(c) i wysokości (h)
$$ a=b+2\sqrt{c^2-h^2} $$
21. Wzór na długość podstawy (b) trapezu równoramiennego z boków (a)(c) i wysokości (h)
$$ b=a-2\sqrt{c^2-h^2} $$
22. Wzór na długość ramienia (c) trapezu równoramiennego z boków (a)(b) i wysokości (h)
$$ c=\sqrt{(\frac{a-b}{2})^2 +h^2} $$
23. Wzór na środkową trapezu równoramiennego $$ m=\frac {a+c}{2} $$