Dowolny wielokąt foremny - przekątne, wysokość, obwód, pole powierzchni


Kalkulator wielokąta foremnego pomoże obliczyć przekątne dowolnego wielokąta foremnego, długość boku, wysokość, pole powierzchni, obwód oraz promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny.



Obwód wielokąta foremnego


$$ L=a \cdot n $$






Wysokość wielokąta foremnego


$$ h=\frac{2\cdot a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})} \hspace{1mm}dla \hspace{1mm}n \hspace{1mm}parzystego $$ $$ h=\frac{a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{\frac{2}{n}})} \hspace{1mm}dla \hspace{1mm}n \hspace{1mm}nieparzystego $$






Pole wielokąta foremnego


$$ S=\frac {1}{4}\cdot n \cdot a^{2}\cdot \cot(\frac {\pi }{n}) = \frac{n\cdot a^{2}}{4\cdot \tan(\frac{\pi}{n})} $$






Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym


$$ R=\frac {a}{2\cdot \sin(\frac{\pi }{n})} $$








Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny


$$ r=\frac {a}{2\cdot \tan(\frac {\pi }{n})} = \frac {a}{2}\cdot \cot(\frac {\pi }{n}) $$






Ilość przekątnych wielokąta foremnego


$$ d=\frac {n(n-3)}{2} $$





Długości przekątnych wielokąta foremnego


$$ d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},$$ gdzie $$ k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,$$







Miara kąta wewnętrznego i miara kąta środkowego wielokąta foremnego


Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami): $$ \gamma =\frac{\pi (n-2)}{n}\mathrm{rad} =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n} $$ Miara kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka): $$ \beta =\frac {2\pi }{n}\mathrm {rad} =\frac {360^{\circ }}{n} $$







Przydatne Informacje

Ośmiokąt - wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Ma on następujące własności:
  • a – długość jednego boku wielokąta;
  • n – liczba boków wielokąta foremnego, gdzie $$ n\in\mathbb{N}, n > 2.$$
  1. Wzór na obwód wielokąta foremnego: $$ L=n \cdot a $$
  2. Wzory na wysokość wielokąta formnego: $$ h=\frac{2\cdot a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})} \hspace{1mm}dla \hspace{1mm}n \hspace{1mm}parzystego $$ $$ h=\frac{a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{\frac{2}{n}})} \hspace{1mm}dla \hspace{1mm}n \hspace{1mm}nieparzystego $$
  3. Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego: $$ S=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n} $$ $$ =\frac{nar}{2}$$ $$ =nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}$$ $$=nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}$$ $$=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}$$
  4. Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym: $$ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{csc}\frac{\pi}{n}$$
  5. Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny: $$ r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n} $$
  6. Wzór na ilość przekątnych wielokąta foremnego: $$ d=\frac {n(n-3)}{2} $$
  7. Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego: $$ d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},$$ gdzie $$ k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,$$
  8. Wzory na długość boku wielokąta foremnego: $$ a=2\sqrt{R^2-r^2}$$ $$ =2R\sin {\frac {\pi }{n}}$$ $$ =2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}$$
  9. Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka) $$ \gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} ={\frac {180^{\circ }}{n}}$$
  10. Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego: $$ \gamma =\frac{\pi (n-2)}{n}\mathrm{rad} =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n} $$
  11. Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka): $$ \beta =\frac {2\pi }{n}\mathrm {rad} =\frac {360^{\circ }}{n} $$





Użytkownicy tego kalkulatora korzystali również

Dzienny kalkulator kalorii. Czyli ile potrzebujemy dziennie by schudnąć, przytyć lub utrzymać wagę.

Kalkulator zapotrzebowania kalorycznego pomoże stworzyć odpowiednią dietę. Odpowie na pytanie jakie jest nasze dzienne zapotrzebowanie na kalorie i ile dziennie potrzebujemy spożyć węglowodanów, protein oraz tłuszczów aby przytyć lub schudnąć o podaną wagę w ciągu określonego czasu.
Do wyboru mamy kilka najpopularniejszych wzorów do obliczenia podstawowego tempa metabolizmu. W wyniku otrzymamy również siedmiodniowy naprzemienny cykl kaloryczny dzięki, któremu przy długotrwałych dietach możemy "oszukać" organizm spożywając różne wartości kaloryczne dziennie jednocześnie zachowując dietę tygodniową.

Trapez- przekątne, wysokość, pole, obwód, boki

Kalkulator pomoże obliczyć przekątne trapezu, długości boków, wysokości, pole powierzchni oraz obwód. Każdą z wielkości możemy obliczyć za pomocą wielu wzorów, wystarczy wskazać co mamy dane.

Zawartość tkanki tłuszczowej w organizmie - metoda pomiaru fałdów skórnych w 7 miejscach

Kalkulator procentowej zawartości tłuszczu w organizmie pomoże obliczyć ilość tkanki tłuszczowej odłożonej w naszym ciele. Wykorzystuje on metodę pomiaru fałdów skórnych w siedmiu różnych miejscach ciała.

Deltoid- przekątne, pole, obwód, boki

Kalkulator pomoże obliczyć przekątne deltoidu, długości boków, pole powierzchni,obwód oraz promień okręgu wpisanego. Każdą z wielkości możemy obliczyć za pomocą wielu wzorów, wystarczy wskazać co mamy dane.

Eratostenes - obwód Ziemi.

Eratostenes grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta. Urodzony w Cyrenie 276 p.n.e., zmarł 194 p.n.e.) – W 255 p.n.e. przeniósł się do Aleksandrii.

Wyznaczył obwód Ziemi oraz oszacował odległość od Słońca i Księżyca do Ziemi. Twierdził, że, płynąc na zachód od Gibraltaru, można dotrzeć do Indii. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, czyli wydłużonego o jeden dodatkowy dzień w kalendarzu. Zestawił katalog 675 znanych wówczas gwiazd.

Do największych osiągnięć Eratostenesa należy wykonanie pierwszego, stosunkowo dokładnego pomiaru wielkości kuli ziemskiej. Eratostenes wbił pal w ziemię i porównał długość jego cieni rzucanych w południe, w czasie letniego przesilenia, pomiędzy Syene (dzisiejszy Asuan w Egipcie nad Nilem) i Aleksandrią. Wykorzystał przy tym fakt, że gdy w Syene (obecnie Asuan) w najdłuższym dniu roku w południe Słońce znajduje się dokładnie w zenicie, w Aleksandrii, leżącej w przybliżeniu na tym samym południku, odległość Słońca od zenitu wynosi 1/50 kąta pełnego (czyli 7°12′). Wywnioskował stąd, że kąt środkowy, odpowiadający łukowi południka między tymi miejscowościami, jest także równy 1/50 kąta pełnego, a więc obwód południka wynosi 50 odległości z Syene do Aleksandrii. Od podróżników karawan wiedział także, że odległość pomiędzy tymi miastami wynosi ok. 5000 stadionów, co dało obwód kuli ziemskiej 250 000 stadionów. Przeliczenie stadionów na metry jest niepewne. Jeśli np. przyjmuje się za L.E. Dreyerem, że 1 stadion = 157,5 m, to promień i obwód Ziemi oceniane przez Eratostenesa są tylko o nieco ponad 1% mniejsze od obecnie znanych.

Eratostenes wyznaczył też kąt nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego.

Siedmiokąt foremny - heptagon

Kalkulator siedmiokąta foremnego pomoże obliczyć przekątną dłuższą siedmiokąta, przekątną krótszą siedmiokąta, długość boku, wysokość, pole powierzchni siedmiokąta, obwód oraz promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w siedmiokąta foremny.

Prostokąt

Dzięki kalkulatorowi obliczysz w prosty sposób pole powirzchni, obwód i przekątną prostokąta.

Z kalkulatora korzystano 7555 razy.



Komentarze



Komentarze (0)

Nikt nie komentował jeszcze. Nie wstydź się, bądź pierwszy/a ;)

Dodaj komentarz

* Wymagane informacje
1000
Captcha Image




Podręczny kalkulator online